\( \newcommand{\setR}{\mathbb{R}} \newcommand{\setRvec}[1]{\mathbb{R}^{#1}} \newcommand{\setRmat}[2]{\mathbb{R}^{#1 \times #2}} \newcommand{\setC}{\mathbb{C}} \newcommand{\setCvec}[1]{\mathbb{C}^{#1}} \newcommand{\setCmat}[2]{\mathbb{C}^{#1 \times #2}} \newcommand{\setN}{\mathbb{N}} \newcommand{\setZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\setQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\setK}{\mathbb{K}} \newcommand{\setF}{\mathbb{F}} \newcommand{\setX}{\mathbb{X}} \newcommand{\setY}{\mathbb{Y}} \newcommand{\bvec}[1]{\boldsymbol{#1}} \newcommand{\bmat}[1]{\boldsymbol{#1}} \newcommand{\zerovec}{\boldsymbol{0}} \newcommand{\zeromat}{\boldsymbol{O}} \newcommand{\adjoint}{\ast} \newcommand{\inner}[2]{(#1, #2)} \newcommand{\Inner}[2]{\left( #1, #2\right)} \newcommand{\floor}[1]{\lfloor #1 \rfloor} \newcommand{\Floor}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor} \newcommand{\ceil}[1]{\lceil #1 \rceil} \newcommand{\Ceil}[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \DeclareMathOperator{\diag}{diag} \DeclareMathOperator{\sgn}{sgn} \newcommand{\argmin}{\mathop{\mathrm{arg~min}}} \newcommand{\argmax}{\mathop{\mathrm{arg~max}}} \newcommand{\map}[3]{#1 \colon #2 \to #3} \newcommand{\rstmap}[2]{\left. {#1}\right| _{#2}} \newcommand{\eset}{\varnothing} \newcommand{\quotset}[2]{#1 / {#2}} \newcommand{\power}[1]{\mathcal{P}(#1)} \newcommand{\closure}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\interior}[1]{{#1}^{\circ}} \newcommand{\family}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\meanE}{\mathbb{E}} \newcommand{\probP}{\mathbb{P}} \)

Banach空間の特徴づけを用いたLp空間の完備性の証明

$L^ p$空間の完備性を,Banach空間の特徴づけをメインに使って示したい話です.

$L^ p$空間はBanach空間,すなわち完備なノルム空間ですが,本で見かける完備性の証明は少し技巧的に見えます(私にとっては). しかし,証明をよく見てみると,一般のBanach空間で通用する部分と$L^ p$空間に特有な部分があって,それらが入り混じっているために何をやっているかがわかりにくく技巧的に見えるのかなと思いました. そこで,この記事ではBanach空間の特徴づけ(ノルム空間の完備性の特徴づけ)を紹介したあと,それを使って$L^ p$空間の完備性を示します. こうすることで証明の道筋がわかりやすくなるかと思います.

初めての記事ということでここにちゃんと書きたかったのですが,MathJaxを使いこなすのが面倒だったのとすでにPDFにはまとめてあったのでPDFを貼ることにします. 次からは記事内に記述していきたいです.